Antes de descobrir como encontrar uma diagonaltrapézio, lembre-se do trapezoide. Na planimetria, um trapezoide é um quadrilátero com dois lados opostos paralelos entre si. Esses lados paralelos são chamados de bases do trapezoide, e os outros são chamados de lados laterais. Os lados podem ser os mesmos, então estamos lidando com um trapezoide isósceles.

No que se segue, examinemos em detalhes a ordem de encontrar o comprimentodiagonais para o caso geral de um trapézio não isósceles. Procederemos do fato de que os dados iniciais são os comprimentos dos quatro lados do trapezoide, os ângulos na base são desconhecidos.

Cálculo da diagonal do trapézio

Trapézio

No trapezoidal ABCD mostrado na figura, existem duas diagonais AC e BD. A ordem de encontrar seu comprimento é a mesma, então considere tudo no exemplo de encontrar a BD diagonal, oposta a ˂BAD.

A BD diagonal é simultaneamente o lado do triângulo ABD e pode ser calculada pelo teorema do coseno usando a fórmula:

BD = √ (AB2+ AD2-2AB.AD.cos ˂ MAU)

Nesta fórmula, conhecemos todas as quantidades, excetocoseno ˂ MAU. Para calcular isso, precisaremos realizar uma pequena conversão de imagem. "Cortar" o retângulo BNMC do trapezoide original. Como resultado, obtemos um triângulo ABD ", no qual o lado BD" é igual ao lado do CD trapezoidal.

Trapézio

˂BAD "no triângulo é ˂BAD no trapézio, entãoComo não realizamos nenhuma transformação com o triângulo ABN. Então, neste triangulo ABD "o lado AB é conhecido por nós, o lado BD" = CD e o lado AD "= AD - NM = AD - BC.

Acontece que pelo teorema do coseno cos ˂BAD = cos ˂BAD "= (AB2 + AD "2 - BD "2) / 2AB.AD "= (AB2 + (AD-BC)2 - CD2) / 2AB.(AD-BC)

Substituindo esta expressão na fórmula encontrada anteriormente, obtemos:

BD = √ (AB2+ AD2-2AB.AD.cos ˂BAD) = √ (AB2+ AD2-2AB.AD.(AB2 + (AD-BC)2 - CD2) / 2AB.(AD - BC)) = √ (AB2 + AD2 - AD.(AB2 + (AD-BC)2 - CD2) / (AD - BC)) = √ (AB2 + AD2 - AD.(AD-BC)2/ (AD - BC) - AD.(AB2 - CD2) / (AD - BC)) = √ (AB2 + AD2 - AD2 + AD.BC-AD.(AB2 - CD2) / (AD - BC)) = √ (AB2 + AD.BC-AD.(AB2 - CD2) / (AD-BC))

BD = √ (AB2 + AD.BC-AD.(AB2 - CD2) / (AD-BC))

A fórmula obtida para a diagonal do trapezoide é válida para qualquer valor dos comprimentos dos lados do quadrilateral original.

Para a segunda diagonal, a fórmula terá, portanto, a forma:

AC = √ (CD2 + AD.BC-AD.(CD2 - AB2) / (AD-BC))

Diagonal de um trapezoide isósceles

Se você está interessado em como encontrar a diagonal de um trapezoide isósceles, a fórmula resultante pode ser bastante simplificada. Afinal, em um trapezium de isósceles AB = CD, portanto AB2 - CD2 = 0 e a fórmula para o comprimento da diagonal é reduzida ao formulário:

BD = √ (AB2 + AD.BC)

As diagonais de um trapezoide isósceles são iguais entre si, então a segunda diagonal é encontrada pela mesma fórmula.

No caso de os dados iniciais seremo comprimento das bases do trapézio, um dos lados e os ângulos na base, então o problema de encontrar a diagonal do trapézio reduz-se ao cálculo do lado do triângulo pelo teorema do coseno.

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