Como encontrar a derivada?

O problema de encontrar um derivado de uma determinada funçãoé um dos principais cursos em matemática no ensino médio e no ensino superior. É impossível investigar completamente uma função, construir seu gráfico sem tomar sua derivada. A derivada de uma função pode ser facilmente encontrada conhecendo as regras básicas de diferenciação, bem como a tabela de derivadas das funções básicas. Vamos descobrir como encontrar a derivada de uma função.

Uma função derivada é o limite da razão do incremento de uma função para o incremento do argumento, quando o incremento do argumento tende para zero.

É bastante difícil entender essa definição, já queA noção de um limite não é totalmente estudada na escola. Mas, para encontrar os derivados de várias funções, não é necessário entender a definição, deixe-a aos especialistas de matemáticos e vá direto para encontrar a derivada.

O processo de encontrar um derivado é chamado de diferenciação. Quando a função é diferenciada, obtemos uma nova função.

Para suas designações, usaremos as letras latinas f, g, etc.

Existem várias notações diversas para derivativos. Usaremos o acidente vascular cerebral. Por exemplo, g "significa que encontraremos a derivada de g.

A tabela de derivados

Para responder a questão de como encontrarderivado, é necessário trazer a tabela de derivadas das funções básicas. Para calcular os derivados das funções elementares, não é necessário realizar cálculos complexos. Basta ver seu valor na tabela de derivativos.

1. C "= 0
2. (sin x) "= cos x
3. (cos x) "= -sin x
4. (xⁿ) "= n x^n-1
5. (e^x) "= e^x
6. (ln x) "= 1 / x
7. (um^x) "= a^xEm um
8. (log_umx) "= 1 / x em uma
9. (bronzeamento x) "= 1 / cos²x
10. (ctg x) "= - 1 / sin²x
11. (arcsin x) "= 1 / √ (1-x²)
12. (arccos x) "= - 1 / √ (1-x²)
13. (arctg x) "= 1 / (1 + x²)
14. (arcctg x) "= - 1 / (1 + x²)

Exemplo 1. Encontre a derivada da função y = 500.

Nós vemos que isso é uma constante. De acordo com a tabela de derivados, sabe-se que a derivada da constante é zero (fórmula 1).

(500) "= 0

Exemplo 2. Encontre a derivada da função y = x¹⁰⁰.

Esta é uma função de poder no expoente de que 100 e, para encontrar sua derivada, é necessário multiplicar a função pelo expoente e diminuir em 1 (fórmula 3).

(x¹⁰⁰) "= 100 x⁹⁹

Exemplo 3. Encontre a derivada da função y = 5^x

Esta é uma função exponencial, calculamos sua derivada pela fórmula 4.

(5^x) "= 5^xln5

Exemplo 4. Encontre a derivada da função y = log₄x

A derivada do logaritmo é encontrada a partir da fórmula 7.

(log₄x) "= 1 / x em 4

Regras de diferenciação

Vamos agora descobrir como encontrarA derivada da função, se não estiver na tabela. A maioria das funções estudadas não são elementares, mas são combinações de funções elementares com a ajuda das operações mais simples (adição, subtração, multiplicação, divisão e multiplicação por um número). Para encontrar seus derivados, é preciso conhecer as regras de diferenciação. Além disso, as letras f e g denotam funções, e C é uma constante.

1. O coeficiente constante pode ser tomado como um sinal da derivada

(C f) "= C f"

Exemplo 5. Encontre a derivada da função y = 6 * x⁸

Tomamos o coeficiente constante 6 e diferenciamos apenas x⁴. Esta é uma função de poder, cuja derivada é encontrada a partir da fórmula 3 da tabela de derivativos.

(6 * x⁸) "= 6 * (x⁸) "= 6 * 8 * x⁷= 48 * x⁷

2. A derivada de uma soma é igual à soma dos derivativos

Então:

(f + g) "= f" + g "

Exemplo 6. Encontre a derivada da função y = x¹⁰⁰+ sin x

A função é a soma de duas funções cujos derivados podem ser encontrados a partir da tabela. Desde (x¹⁰⁰) "= 100 x⁹⁹ e (sin x) "= cos x. A derivada da soma será igual à soma destas derivadas:

(x¹⁰⁰+ sin x) "= 100 x⁹⁹+ cos x

3. O derivado da diferença é igual à diferença dos derivados

(f - g) "= f" - g "

Exemplo 7. Encontre a derivada da função y = x¹⁰⁰ - cos x

Esta função é a diferença de doisfunções cujos derivados também podemos encontrar a partir da tabela. Então, a derivada da diferença é igual à diferença das derivadas e não esqueceremos de mudar o sinal, já que (cos x) "= - sin x.

(x¹⁰⁰ - cos x) "= 100 x⁹⁹ + sin x

Exemplo 8. Encontre a derivada da função y = e^x+ tg x-x².

Nesta função há uma soma e uma diferença, encontramos as derivadas de cada termo:

(e^x) "= e^x, (tg x) "= 1 / cos²x (x²) "= 2. Então a derivada da função inicial é igual a:

(e^x+ tg x-x²) "= e^x+ 1 / cos²x -2 x

4. A derivada de um trabalho

(f * g) "= f" * g + f * g "

Exemplo 9. Encontre a derivada da função y = cos x * e^x

Para fazer isso, primeiro encontramos a derivada de cada fator (cos x) "= - sin x e (e^x) "= e^x. Agora substituiremos tudo na fórmula do produto. Multiplicamos a derivada da primeira função pelo segundo e adicionamos o produto da primeira função à derivada do segundo.

(cos x * e^x) "= e^xcos x - e^x* sin x

5. A derivada de um determinado

Então:

(f / g) "= f" * g - f * g "/ g²

Exemplo 10. Encontre a derivada da função y = x⁵⁰/ sin x

Para encontrar a derivada do quociente, primeiro encontramos a derivada do numerador e do denominador separadamente: (x⁵⁰) "= 50 x⁴⁹ e (sin x) "= cos x. Substituindo a derivada do quociente pela fórmula, obtemos:

(x⁵⁰/ sin x) "= 50x⁴⁹* sin x - x⁵⁰* cos x / sin²x

Derivada de uma função complexa

Uma função complexa é uma função representada pela composição de várias funções. Para encontrar a derivada de uma função complexa, existe também uma regra:

(u (v)) "= u" (v) * v "

Vamos descobrir como encontrar a derivada de tal função. Deixe y = u (v (x)) ser uma função complexa. Chamamos a função u externa e v - interna.

Por exemplo:

y = sin (x³) é uma função complexa.

Então y = sin (t) é uma função externa

t = x³ - interno.

Vamos tentar calcular a derivada desta função. Pela fórmula, é necessário multiplicar as derivadas das funções interna e externa.

(sin t) "= cos (t) é a derivada da função externa (onde t = x³)

(x³) "= 3x² é a derivada da função interna

Então (sin (x³)) "= cos (x³) * 3x²é a derivada de uma função composta.